La foliación de Reeb para la esfera S3

Abstract

En la actualidad la “Teoría de Foliaciones” es un campo multidisciplinar que precisa de la aplicación de complejas y diversas técnicas geométricas, topológicas y analíticas. El primer impulso para esta teoría viene dado por la pregunta planteada por H. Hopf acerca de la existencia de una foliación de codimensión uno en la esfera S3, la cual fue respondida afirmativamente por G. Reeb. Este trabajo se centra en el estudio de esta foliación: “La foliación de Reeb para la esfera S3 ”; ya que a partir de ésta es como se inicia el desenvolvimiento de la “Teoría de Foliaciones”. Intuitivamente, una foliación es esencialmente una descomposición de una variedad en subvariedades de igual dimensión, llamadas hojas de la foliación, que se pegan como las hojas de un libro y, de la misma manera, estas hojas contienen información valiosa, tanto geométrica como topológica sobre la variedad misma, pero que globalmente pueden tener una estructura más complicada. El objetivo de este trabajo es construir la foliación de Reeb para la esfera S3; para esto se tiene que descomponer S3 como unión de dos toros sólidos D2 × S1 y S1 × D2; para luego construir una foliación en cada uno de los toros sólidos, para así identificar sus fronteras mediante un homeomorfismo que lleva los paralelos de uno sobre los meredianos del otro y viceversa; para de esta forma obtener una foliación de la esfera S3.