Deformaciones de estructuras complejas en variedades complejas compactas.
Fecha
2019-04-06Autor
Villarreal Montenegro, Yuliana
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En este trabajo se describe una parte importante de los descubrimientos
obtenidos durante el siglo XX, es una introducción a la teoría de variedades
complejas y sus deformaciones. Intuitivamente la deformación de una variedad
compleja compacta M, compuesta de un número finito de cartas coordenadas,
viene dada por el desplazamiento de éstas cartas.
Definimos
M M T B y M B
,
de manera que el desplazamiento del
cual hablo se llevará a cabo a través de la aplicación KSt que va del espacio
tangente de una variedad compleja B, denominado espacio base de una familia
diferenciable de variedades complejas compactas
, ,M B , al primer grupo de
cohomología de Mt, es decir KSt,
: ,
1
T B H M
, donde
es el haz de
t
t
t
gérmenes de campos vectoriales holomorfos sobre Mt, a ésta aplicación se le
llama La Aplicación Infinitestimal Kodaira-Spencer, que nos permitirá medir las
variaciones de primer orden de la estructura compleja.
En consecuencia, dada
, ,M B una familia analítica compleja de variedades
complejas compactas, se tiene que las deformaciones infinitesimales
/t t
dM dt de M
1
t
son ciertos elementos de
1
,t t
H M . Por otro lado,
dada una variedad compleja compacta M, si
, ,M B con
O B es una
familia analítica compleja tal que
1
0
M
. ¿Podemos decir que
1
/ .
t
dM dt H M
, es una deformación infinitesimal de M?
Pues no está claro que cada
deba surgir de ésta manera. Resulta que si
surgiese así, entonces tiene que cumplir con ciertas condiciones adicionales.
Si existen clases de cohomología
que no cumplan las condiciones adicionales
entonces
no son deformaciones infinitesimales de M, si no, son llamados
Obstrucciones a la deformación de M. esta teoría de la obstrucción, garantiza la
existencia de una familia analítica compleja paa cualquier
1
,H M .
Finalmente, hablaremos también del Número de Moduli, m(M) que viene a ser el
número de parámetros efectivos de la familia analítica compleja
, ,M B con
1
0
M
, que contiene todas las deformaciones suficientemente pequeñas
para M.
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