Existencia y unicidad de soluciones para la ecuación de convección - difusión - reacción del tipo estacionario usando los métodos de Galerkin y esquema Monótono

Abstract

En este trabajo utilizamos un método de análisis numérico que sirve para aproximar la solución de ecuaciones diferenciales parciales con valores iniciales, llamado Método de Elementos Finitos (MEF), que esta pensado para ser usado en computadoras y que proporciona una técnica particular sistemática para construir funciones bases como funciones polinomiales por tramos sobre subregiones del dominio, estas funciones son llamadas elementos finitos. Para ello, se empieza derivando la ecuación diferencial parcial con condiciones iniciales a un problema de-nominado problema débil, que consta de una forma bilineal y un funcional lineal. Además, a dicha forma bilineal se le asocia una matriz llamada matriz de rigidez. El objetivo de este trabajo es el análisis de la existencia y unicidad de las soluciones, continua y discreta, de la ecuación de convección-difusión-reacción del tipo estacionario. Para el análisis de las soluciones discretas se utilizan dos métodos de elementos finitos; el método de Galerkin clásico y un método Monótono. Las ecuaciones diferenciales parciales de convección-difusión-reacción del tipo estacionario modelan, por ejemplo, la concentración de partículas en un campo de flujo de velocidad externa. En particular, nos centraremos especialmente en las ecuaciones de convección-difusión-reacción con convección dominada, es decir, cuando el término difusivo es varios ordenes mas pequeño que el término convectivo. Debido a que el problema es de convección dominada los esquemas clásicos de elementos finitos no son eficientes para resolver este tipo de problemas, ya que la solución numérica tiende a oscilar si la medida de la malla no es suficientemente pequeña. Teniendo en cuenta ese inconveniente es que surgen los esquemas monótonos de elementos finitos, estos esquemas monótonos tienen la característica particular de satisfacer el Principio del Máximo Débil tanto a nivel continuo como a nivel discreto, denominado propiedad de monotonía. El método monótono que desarrollaremos en este trabajo es el Esquema Monótono de Elementos Finitos del Borde Promediado denominado EAFEM, donde la idea principal es promediar adecuadamente los coeficientes de la ecuación diferencial en las aristas de la triangulación o malla. En este método, la matriz de rigidez resultante es una matriz llamada M-matriz bajo cierta suposiciones sobre la triangulación (generalmente no estructurada). El método fue propuesto por Xu y Zikatanov en [5] y motivado por los trabajos de Markowich y Zlamal [7] y Brezzi, Marini y Pietra [8]. Además, Xu Zikatanov en [5], nos dice que ́ este esquema (EAFEM), es un esquema monótono de upwinding, es decir, la solución numérica tiende a ser suave. En el Capítulo 1, se presentan definiciones y resultados sobre la teoría de elementos finitos, Identidades de Green, Principio el Máximo Débil, esquema de Galerkin, esquema monótono, los cuales se utilizan para la demostraciones de la existencia y unicidad de las soluciones de la ecuación de convección–difusión–reacción del tipo estacionario y el estudio de las estimaciones de error a priori. En el segundo capítulo, se aplican resultados para garantizar existencia y unicidad de la solución continua de la ecuación de convección–difusión–reacción del tipo estacionario, entre ellos, el teorema de Lax Milgram, y se corrobora que la ecuación diferencial parcial en estudio satisface la propiedad de monotonía a nivel continuo. En el capítulo 3, se presenta el esquema discreto de Galerkin para el cual se utilizan elementos finitos lineales, continuos y a trozos, y se estudia el esquema EAFEM propuesto por Xu Zikatanov en [5]. Además de estudiar la existencia y unicidad de la solución discreta para ambos métodos. se detalla y corrobora las cuentas de la demostración del teorema del error de convergencia para el esquema discreto EAFEM. Finalmente, se presenta un resultado numérico que muestra el buen comportamiento del método EAFEM y la ineficiencia del Método de Galerkin.