Polinomios Ciclotómicos en cuerpos K[x] y raíces primitivas módulo n

Abstract

La presente tesis tiene por objeto de estudio a los polinomios ciclotóicos y a las raices primitivas (generadores) del grupo multiplicativo Zxn. En el capítulo 1 citamos algunas definiciones y resultados referente a la teoría de grupos y cuerpos, necesarios para el desarrollo del capítulo 2 y 3. En el capítulo 2, se define el n-ésimo Polinomio Ciclotómico como Φn(x) = Y j=1 (j,n)=1 (x − ξ j n ) cuyas raíces son precisamente las n- ésimas raices primitivas de la unidad; a partir de esta damos otras equivalentes tales como: a) Φn(x) = Q d\n (x d − 1)μ( n d ) , donde μ(.) es la función de Mobius. b) Inductivamente, a partir de Φ1(x) = x − 1, Φn(x) = x n − 1 m.c.m{x d − 1 con 0 < d < n, d\n}. Además, se presenta una caracterización de los polinomios ciclotómicos con coeficientes impares. Entre estos, se encuentran los polinomios ciclotómicos de Littlewood (i.e.,con coeficientes + −1). P.Borwein y K.K. Choi prueban el siguiente: Teorema: Para N impar. Un polinomio de Littlewood, P(x), de grado N-1 es ciclotómico si y sólo sí P(x) =+ − Φp1 ( + −x)Φp2 ( + −x p1 )...Φpr ( + −x p1p2...pr−1 ), donde N = p1p2...pr y los p 0 i s son primos, no necesariamente distintos. Ellos además, conjeturan que este teorema también es válido para polinomios de grado impar. También, tratamos sobre la irreducibilidad o no de algunos polinomios ciclotómicos en Fp[x] con p primo. En esta parte mostramos algunas factorizaciones usando MAPLE. En el capítulo 3, empezamos mostrando que para K un cuerpo finito, entonces Kx (los elementos invertibles de K ) es un grupo cíclico. Su demostración está basada en la aplicación de nuestros resultados de polinómios ciclotómicos.