La Ecuación Funcional Aditiva de Cauchy de R en R

Abstract

El estudio de las funciones aditivas se remonta a A.M Legendre, quien primero intentó determinar la solución de la ecuación funcional aditiva de Cauchy f (x+y) = f (x)+ f (y); (1) para todo x;y 2 R, donde f : R ! R es una función. Sin embargo el estudio sistemático de la ecuación funcional aditiva de Cauchy (1) fue iniciado por A.L. Cauchy en su libro Cours d’Analyse en 1821. Además estudió también otras tres ecuaciones funcionales : f (xy) = f (x)+ f (y); (2) f (x+y) = f (x) f (y); (3) f (xy) = f (x) f (y): (4) A lo largo de la presente tesis se realiza un estudio de la ecuación funcional aditiva de Cauchy (1), donde se responde a la siguiente interrogante : ¿Bajo qué condiciones una función f : R!R que satisface la ecuación funcional aditiva de Cauchy (1) es lineal, de la forma f (x) = c x, donde c 2 R ? Además se presenta la solución de las tres ecuaciones fucionales restantes (2), (3), (4). Comenzamos mostrando que una condici´on es la continuidad, y que otras m´as d´ebiles son integrabilidad local, continuidad en un punto, estar acotada superior o inferiormente. También se explora el comportamiento de funciones discontinuas que satisfacen la ecuación funcional (1) y se muestra que ellas manifiestan un comportamiento muy extraño: sus gráficas son subconjuntos densos del plano R2. Además se discute brevemente las bases de Hamel con el fin I de usarlas para construir funciones aditivas discontinuas y se finaliza el presente trabajo exhibiendo dos aplicaciones : la caracterización de distribución geométrica y la caracterización de la distribución normal.