Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales elípticas y su implementación en la interfaz grafica de usuario de matlab

Abstract

La presente investigaci´on tuvo como objetivo solucionar num´ericamente las ecuaciones diferenciales parciales el´ıpticas y su implementaci´on en la interfaz gr´afica de usuario (GUI) de Matlab. La innovaci´on principal del estudio radica en el dise˜no y programaci´on de una GUI espec´ıfica en Matlab, que facilita la aplicaci´on del m´etodo de diferencias finitas a ecuaciones diferenciales parciales el´ıpticas, permitiendo una visualizaci´on directa del resultado con un m´ınimo margen de error. Para evaluar la efectividad de la interfaz gr´afica desarrollada, se llevaron a cabo tres aplicaciones principales: la resoluci´on de la ecuaci´on de Poisson, que detalla el proceso iterativo; la soluci´on de la ecuaci´on de Laplace y una aplicaci´on directa a trav´es de la GUI, destacando su capacidad para proporcionar una experiencia de usuario simplificada y eficiente. Estas pruebas no solo validaron la funcionalidad y el rendimiento de la interfaz, sino que tambi´en ilustraron la adaptabilidad del m´etodo de diferencias finitas a distintos problemas matem´aticos. La implementaci´on de la GUI permiti´o la manipulaci´on din´amica como la funci´on, las condiciones de frontera, los intervalos de estudio y el n´umero de particiones de la malla, mejorando significativamente el proceso de soluci´on y haci´endolo m´as r´apido y eficiente. Esta capacidad para realizar ajustes de forma intuitiva y en tiempo real mejor´o la comprensi´on del m´etodo de diferencias finitas. El estudio proporcion´o una herramienta importante para la comunidad cient´ıfica y educativa, mejorando el acceso y la comprensi´on en el ´ambito de las ecuaciones diferenciales parciales el´ıpticas.

The objective of this research was to solve numerically the elliptic partial differential equations and their implementation in the Matlab graphical user interface (GUI). The main innovation of the study lies in the design and programming of a specific GUI in Matlab, which facilitates the application of the finite difference method to elliptic partial differential equations, allowing a direct visualization of the result with a minimum margin of error. To evaluate the effectiveness of the developed graphical interface, three main applications were carried out: the solution of Poisson’s equation, detailing the iterative process; the solution of Laplace’s equation and a direct application through the GUI, highlighting its ability to provide a simplified and efficient user experience. These tests not only validated the functionality and performance of the interface, but also illustrated the adaptability of the finite difference method to different mathematical problems. The GUI implementation allowed dynamic manipulation such as function, boundary conditions, study intervals and number of mesh partitions, significantly improving the solution process and making it faster and more efficient. This ability to make adjustments intuitively and in real time improved the understanding of the finite difference method. The study provided an important tool for the scientific and educational community, improving access and understanding in the field of elliptic partial differential equations