Campos involutivos de k-planos de clase Cr y las foliaciones de clase Cr de dimensión k en una variedad diferenciable

Abstract

El concepto de foliación se originó a partir de los trabajos de Ehresmann y Reeb, una definición general de una foliación de dimensión n en una variedad diferenciable Mm es una descomposición de M en subvariedades conexas de dimensión n denominadas hojas. El objetivo general de este trabajo es justificar sobre una variedad diferenciable, que la involutividad de un campo de k-planos de clase C r , es una condición necesaria y

suficiente para la existencia de una foliación de clase C

r de dimensión k, para lograr este objetivo se procedió a justificar en ambas direcciones: la implicación directa (un campo P de k-planos de clase C r (r ≥ 1) definido en M que es involutivo, es completamente integrable) y la implicación recíproca (si P es completamente integrable, es decir existe una foliación de clase C

r de dimensión k en M, entonces es involutivo), utilizando el

concepto de integrabilidad de un campo de k-planos.

The concept of foliation originated from the works of Ehresmann and Reeb, a general definition of a foliation of dimension n on a differentiable manifold Mm is a decomposition of M into connected submanifolds of dimension n called leaves. The general objective of this work is to justify on a differentiable manifold that the involutivity of a field of k -planes of class C r , is a necessary and sufficient condition for the existence

of a foliation of class C

rof dimension k, to achieve this objective we proceeded to justify

in both directions: the direct implication (a field P of k-planes of class C r (r ≥ 1) defined in M is involutive, it is completely integrable) and the reciprocal implication (if P is completely integrable, meaning that there exists a C r foliation of dimension k on M,

then it is involutive), using the concept of integrability of a field of k -planes.