Aspectos de la dinámica del problema de 3-cuerpos con potencial casi-homogéneo

Abstract

Esta tesis investiga aspectos din ́amicos del problema de tres cuerpos con un poten- cial casi-homog ́eneo, definido como W = U + V ,

W = X 1≤k<j≤3

Gmkmj ∥rk − rj∥ + GmkmjCkj ∥rk − rj∥ p

,

donde mk > 0 son las masas y Ckj son constantes reales no nulas, siendo el exponente p > 1. A seguir, consideraremos la constante de Gravitaci ́on Universal G = 1. U es el potencial newtoniano (grado −1) y V es un t ́ermino homog ́eneo de grado −p

(p > 1). Se analizan las singularidades, colisiones totales y estabilidad de configuracio- nes espec ́ıficas, enfoc ́andose en el rol de las constantes Ckj (que modulan la intensidad

del potencial no newtoniano) y el par ́ametro p. Mediante generalizaciones de teore- mas cl ́asicos (Sundman, Painlev ́e, Von Zeipel), se demuestra que las singularidades

en este sistema est ́an vinculadas a colisiones cuando p ≥ 2 y Ckj < 0, mientras que para Ckj > 0, la inestabilidad domina. Adem ́as, se estudian soluciones tipo Maxwell (configuraciones triangulares equil ́ateras en rotaci ́on), mostrando que su estabilidad

espectral depende cr ́ıticamente de p y Ckj . Para C > 0, todas las soluciones son ines- tables, mientras que para C < 0, existen reg ́ımenes de estabilidad condicional. Estos

resultados ampl ́ıan la comprensi ́on de sistemas din ́amicos no lineales y tienen implica- ciones en mec ́anica celeste y f ́ısica te ́orica.

This thesis investigates dynamical aspects of the three-body problem with a quasi- homogeneous potential, defined as W = U + V

W = X 1≤k<j≤3

Gmkmj ∥rk − rj∥ + GmkmjCkj ∥rk − rj∥ p

,

where mk > 0 are the masses and Ckj are non-zero real constants, being the exponent p >1. Next we will, consider the Universal Gravitation constant G = 1. U is the Newtonian potential (degree −1) and V is a homogeneous term of degree −p (p > 1). Singularities, total collisions, and stability of specific configurations are

analyzed, focusing on the role of the constants Ckj (modulating the non-Newtonian po- tential’s intensity) and the parameter p. Through generalizations of classical theorems

(Sundman, Painlev ́e, Von Zeipel), it is shown that singularities in this system are lin- ked to collisions when p ≥ 2 and Ckj < 0, whereas for Ckj > 0, instability dominates.

Additionally, Maxwell-type solutions (rotating equilateral triangular configurations) are studied, revealing that their spectral stability critically depends on p and Ckj . For C > 0, all solutions are unstable, while for C < 0, conditional stability regimes exist. These results enhance the understanding of nonlinear dynamical systems and have implications in celestial mechanics and theoretical physics.