Dinámica de un cultivo bacterial usando el modelo presa-depredador con retardo

Abstract

El presente estudio desarrolla un modelo matemático para describir la dinámica de un cultivo bacteriano en un quimiostato, fundamentado en el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias tipo presa-depredador, con y sin la consideración de un término de retardo. El quimiostato es modelado como un entorno controlado donde las bacterias actúan como depredadores del sustrato disponible, estableciendo así una relación biológica análoga a los sistemas ecológicos.A través de un análisis teórico y numérico, se establecen condiciones para la estabilidad de los puntos de equilibrio del sistema, obteniendo tres teoremas fundamentales que permiten identificar los parámetros clave que rigen la dinámica del modelo. Se evidencia que la inclusión de un retardo en la tasa de crecimiento bacteriano introduce modificaciones sustanciales en la estabilidad del sistema, generando posibles transiciones hacia regímenes oscilatorios o comportamientos más complejos. En particular, se analizó la relevancia del factor e −τ y su impacto en la dinámica de las soluciones estacionarias. Los resultados obtenidos proporcionan una herramienta analítica para la comprensión y el control de cultivos bacterianos en biotecnología, optimizando su uso en aplicaciones industriales y científicas. Además, se destaca la aplicabilidad del enfoque presa-depredador con retardo en la modelización de otros sistemas biológicos donde las interacciones dependen de efectos diferidos en el tiempo.

The present study develops a mathematical model to describe the dynamics of a bacterial culture in a chemostat, based on the system of ordinary differential equations of the prey-predator type, with and without the consideration of a delay term. The chemostat is modeled as a controlled environment where bacteria act as predators of the available substrate, thus establishing a biological relationship analogous to ecological systems. Through a theoretical and numerical analysis, conditions for the stability of the equilibrium points of the system are established, obtaining three fundamental theorem that allow identifying the key parameters that govern the dynamics of the model. It is shown that the inclusion of a delay in the bacterial growth rate introduces substantial modifications in the stability of the system, generating possible transitions towards oscillatory regimes or more complex behaviors. In particular, the relevance of the factor e −τ and its impact on the dynamics of stationary solutions was analyzed. The results obtained provide an analytical tool for the understanding and control of bacterial cultures in biotechnology, optimizing their use in industrial and scientific applications. Furthermore, the applicability of the delayed prey-predator approach in the modeling of other biological systems where interactions depend on time-delayed effects is highlighted.