Método de los elementos finitos para el cálculo de la deflexión máxima en puentes con varios tramos utilizando Spline

Abstract

La presente investigacion aborda el problema del c ́ alculo preciso de deflexiones m ́ aximas en ́ puentes multitramo, una problematica fundamental en el an ́ alisis estructural contempor ́ aneo. El ́ objetivo principal consiste en la aplicacion del M ́ etodo de los Elementos Finitos (MEF) para la ́ determinacion de deflexiones empleando funciones B-spline c ́ ubicas como base de aproxima- ́ cion, garantizando continuidad ́ C

2 y precision num ́ erica superior. La metodolog ́ ́ıa desarrollada se fundamenta en la formulacion d ́ ebil de la ecuaci ́ on de Euler-Bernoulli, considerando vigas de ́ multiples tramos sometidas a cargas puntuales y distribuidas. La implementaci ́ on computacio- ́ nal se realizo en Python (versi ́ on 3.7 o superior), incorporando integraci ́ on num ́ erica mediante ́ cuadratura de Gauss-Legendre con discretizacion basada en vectores de nodos optimizados. Los ́

resultados obtenidos fueron validados mediante comparacion con soluciones anal ́ ́ıticas de re- ferencia, evidenciando errores relativos inferiores al 1% y convergencia asintotica robusta con ́

orden O(h 2 ) en norma energetica. El an ́ alisis demostr ́ o que el empleo de funciones B-spline ́

mejora significativamente la estabilidad del sistema algebraico resultante y optimiza la estruc- tura dispersa de la matriz de rigidez global. La consistencia numerica fue verificada mediante ́

ejecucion en plataformas computacionales con especificaciones heterog ́ eneas: Lenovo IdeaPad ́ Slim 3i (Intel Core i5-8250U, 4 GB RAM) y Asus GL753V (Intel Core i7-7700HQ, 32 GB RAM), obteniendo resultados identicos hasta precisi ́ on de m ́ aquina. Se concluye que el MEF ́ con discretizacion basada en B-splines c ́ ubicas constituye una herramienta computacional efi- ́ caz para el modelado de estructuras complejas, proporcionando una alternativa metodologica ́

XII

precisa y numericamente robusta frente a aproximaciones tradicionales basadas en elementos ́ finitos Lagrangianos.

This research addresses the problem of accurately computing maximum deflections in multis- pan bridges, a fundamental challenge in contemporary structural analysis. The primary objec- tive consists of applying the Finite Element Method (FEM) for deflection determination using

cubic B-spline functions as approximation basis, ensuring C 2

continuity and superior nume- rical precision. The developed methodology is based on the weak formulation of the Euler- Bernoulli equation, considering multi-span beams subjected to both point and distributed loads.

The computational implementation was performed in Python (version 3.7 or higher), incorpo- rating numerical integration through Gauss-Legendre quadrature with discretization based on

optimized knot vectors. The obtained results were validated through comparison with analytical reference solutions, demonstrating relative errors below 1% and robust asymptotic convergence with order O(h 2 ) in energy norm. The analysis demonstrated that the use of B-spline functions significantly enhances the stability of the resulting algebraic system and optimizes the sparse structure of the global stiffness matrix. Numerical consistency was verified through execution on

computational platforms with heterogeneous specifications: Lenovo IdeaPad Slim 3i (Intel Co- re i5-8250U, 4 GB RAM) and Asus GL753V (Intel Core i7-7700HQ, 32 GB RAM), obtaining

identical results up to machine precision. It is concluded that FEM with cubic B-spline-based

discretization constitutes an effective computational tool for modeling complex structures, pro- viding a precise and numerically robust methodological alternative to traditional Lagrangian

finite element approximations.