El Modelo De Zermelo - Fraenkel Como Sistema Formal

Abstract

Los cuestionamientos a los axiomas de Peano, en cuanto al surgimiento de ciertas inconsisten- cias genero entredichos que llevaron a Zermelo - Fraenkel a proponer una estructura formal ́

coherente que, a partir de enunciados (axiomas) permitiera generar y demostrar, aplicando cier- tas reglas de formacion, expresiones m ́ as complejas desde el punto de vista l ́ ogico, sin referirse ́

a ningun ente en particular. Para este trabajo, se plante ́ o como objetivo: Establecer las ruptu- ́ ras conceptuales de un sistema axiomatico de conjuntos, para transitar hacia un nuevo sistema ́ formal de Zermelo – Fraenkel, que nos permita analizar sus alcances en el trabajo matemati- ́ co. Lograr el proposito precisado nos lleva a dar respuesta a la siguiente pregunta ¿Cu ́ al es ́ el transito desde una teor ́ ́ıa axiomatica de conjuntos; como la planteada por, Cantor hacia una ́ axiomatica formal de Zermelo – Fraenkel? La naturaleza racional deductiva del presente traba- ́ jo, obliga a uso del analisis y argumentaci ́ on l ́ ogica para sustentar las conclusiones, el mismo ́ que a continuacion precisamos: ́

1. La teor ́ıa de conjuntos de Cantor adolec ́ıa de ciertas inconsistencias que obligaron a re- formularla y complementarla.

2. La teor ́ıa Cantoriana de conjuntos carec ́ıa de la formalizacion necesaria para sustentar ́ ciertos resultados fundamentales, relacionados con un concepto basico y crucial para la ́ matematica: Conjunto. ́ 3. Conceptualmente una teor ́ıa axiomatica formal se construye en base a enunciados(axiomas), ́ formulas elaboradas aplicando la sintaxis correspondiente y deducciones(teoremas) cuya ́ demostracion exige aceptar la validez de los axiomas y aplicar las reglas de inferencia. ́

III

IV 4. La teor ́ıa axiomatica ZF permite la construcci ́ on de conjuntos infinitos y la construcci ́ on ́ formal del conjunto de los numeros naturales, a partir de la aplicaci ́ on del axioma del ́ Conjunto Inductivo.

The questioning of Peano’s axioms, in terms of the emergence of certain inconsistencies, led Zermelo-Fraenkel to propose a coherent formal structure that, from statements (axioms) would allow generating and proving, by applying certain rules of formation, more complex expressions from the logical point of view, without referring to any particular entity. The objective of this work was to establish the conceptual ruptures of an axiomatic system of sets, in order to move towards a new formal system of Zermelo-Fraenkel, which will allow us to analyze its scope in mathematical work. Achieving the specified purpose leads us to answer the following question: What is the transition from an axiomatic set theory, such as the one proposed by Cantor, to a formal axiomatic system of Zermelo-Fraenkel? The rational deductive nature of the present work requires the use of logical analysis and argumentation to support the conclusions, which we will now specify:

1. Cantor’s set theory suffered from certain inconsistencies that made it necessary to refor- mulate and complement it.

2. Cantorian set theory lacked the necessary formalization to support certain fundamental results, related to a basic and crucial concept for mathematics: Set. 3. Conceptually, a formal axiomatic theory is constructed on the basis of statements (axioms), formulas elaborated by applying the corresponding syntax and deductions (theorems)

whose proof requires accepting the validity of the axioms and applying the rules of infe- rence.

4. The axiomatic theory ZF allows the construction of infinite sets and the formal construc- V

VI tion of the set of natural numbers, from the application of the axiom of the Inductive Set.