Convexidad Generalizada Aplicada A La Optimalidad De Karush-Kuhn-Tucker

Abstract

En el desarrollo de esta tesis, se siguio la l ́ ́ınea de Alberto Cambini y Laura Martein, pro- fundizando mas en las demostraciones de los resultados que ellos presentan en su texto ”Gene- ́

ralized Convexity and Optimization”. Espec ́ıficamente, se abordaron e interpretaron con mayor

detalle los conceptos y propiedades a nivel de conjuntos, funciones convexas, funciones con- vexas generalizadas diferenciables y no diferenciables en la optimizacion haciendo uso de los ́

teoremas de separacion. No obstante, los objetivos a alcanzar en el presente trabajo son : Apli- ́ car los conceptos de convexidad generalizada en el contexto de optimalidad de Karush - Kuhn - Tucker, describir y caracterizar las relaciones entre la convexidad y convexidad generalizada, caracterizar los conceptos de primer y segundo orden de cuasiconvexidad y pseudoconvexidad y finalmente demostrar el teorema de optimalidad Karush-Kuhn-Tucker bajo la suposicion de ́ cuasiconvexidad y pseudoconvexidad. Se ha implementado una serie de graficas que facilitan ́ el seguimiento de algunas demostraciones, lo que contribuye a una mejor comprension del lec- ́ tor sobre la teor ́ıa expuesta en el trabajo. Ademas, se presentan ejemplos detallados para las ́ definiciones y teoremas en varios casos. Como resultados, se encontro: ́

En relacion al primer objetivo espec ́ ́ıfico, una de las principales propiedades de las fun- ciones convexas, nos indica que, si se encuentra un punto cr ́ıtico una funcion convexa ́

diferenciable, se puede concluir inmediatamente que este es un m ́ ́ınimo global. Sin em- bargo, esta propiedad no se cumple para las funciones cuasiconvexas, funciones estricta- mente cuasiconvexas y funciones semiestrictamente cuasiconvexas.

En relacion al segundo objetivo espec ́ ́ıfico, se caracterizo que los conceptos de primer y ́ segundo orden en la cuasiconvexidad y pseudoconvexidad estan relacionados con las pro- ́ piedades del gradiente. En la cuasiconvexidad no se requiere que la matriz Hessiana sea semidefinida positiva en todas las direcciones, sino unicamente en las direcciones ortogo- ́ nales al gradiente. En cuanto a la pseudoconvexidad, refuerza las condiciones necesarias para la optimalidad local, asegurando que los puntos cr ́ıticos siempre correspondan a m ́ınimos locales. En relacion al objetivo general, se obtuvo que la convexidad generalizada en el contexto ́ de las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker garantiza que una solucion ́ optima local es una soluci ́ on ́ optima global. Adem ́ as, se determino que un punto m ́ aximo ́

siempre se ubica en la frontera del dominio cuando se asume convexidad generalizada; al considerar tanto la convexidad como la concavidad generalizada, se concluye que los puntos m ́ınimo y maximo, si existen, se encuentran en la frontera del conjunto factible.

In the development of this thesis, the line of Alberto Cambini and Laura Martein was follo- wed, going deeper into the demonstrations of the results they present in their text ”Generalized

Convexity and Optimization”. Specifically, the concepts and properties at the level of sets,

convex functions, differentiable and non-differentiable generalized convex functions in optimi- zation were addressed and interpreted in greater detail using the separation theorems. However,

the objectives to be achieved in this work are: to apply the concepts of generalized convexity in the context of Karush - Kuhn - Tucker optimality, to describe and characterize the relationships between convexity and generalized convexity, to characterize the concepts of first and second order of quasiconvexity and pseudoconvexity and finally to prove the Karush-Kuhn-Tucker optimality theorem under the assumption of quasiconvexity and pseudoconvexity. A series of

graphs have been implemented to facilitate the following of some demonstrations, which con- tributes to a better understanding by the reader of the theory presented in the work. In addition,

detailed examples are presented for the definitions and theorems in several cases. As a result, it was found: In relation to the first specific objective, one of the main properties of convex functions indicates that if a critical point of a differentiable convex function is found, it can be immediately concluded that it is a global minimum. However, this property is not fulfilled for quasiconvex functions, strictly quasiconvex functions and semistrictly quasiconvex functions. In relation to the second specific objective, it was characterized that the concepts of first and second order in quasiconvexity and pseudoconvexity are related to the properties of the gradient. In quasiconvexity, it is not required that the Hessian matrix be positive semidefinite in all directions, but only in the directions orthogonal to the gradient. As for pseudoconvexity, it reinforces the necessary conditions for local optimality, ensuring that critical points always correspond to local minima. In relation to the general objective, it was found that generalized convexity in the context of the Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions guarantees that a local optimal solution is a global optimal solution. Furthermore, it was determined that a maximum point is always located on the domain boundary when generalized convexity is assumed; when considering both generalized convexity and concavity, it is concluded that the minimum and maximum points, if they exist, are located on the boundary of the feasible set. VII