Generador de un semigrupo fuertemente continuo: Un análisis desde la teoría de perturbaciones.

Abstract

El objetivo central de esta investigación fue determinar las condiciones que debe cumplir un operador perturbador P para que, al sumarse a un generador A de un semigrupo fuertemente continuo de clase 0C

en un espacio de Banach, el operador

resultante AP continúe generando un semigrupo de la misma clase. Para alcanzar dicho propósito, se revisaron los fundamentos de los semigrupos de operadores y sus generadores, con especial énfasis en el teorema de Hille Yosida, el resolvente y las técnicas de interpolación y extrapolación de espacios. Posteriormente, se abordó la teoría de perturbaciones como herramienta principal para analizar la estabilidad de los semigrupos frente a modificaciones controladas en su generador. Los resultados obtenidos evidencian que, bajo la condición de que P sea lineal y acotado, el operador perturbado AP mantiene las propiedades esenciales del generador original, asegurando así la existencia de un semigrupo fuertemente continuo. A partir de estos hallazgos, se concluye que la teoría de perturbaciones confirma la hipótesis planteada y cumple con los objetivos propuestos, validando que los semigrupos de clase 0C

conservan su estructura bajo perturbaciones bien definidas. En conjunto, el trabajo ofrece un marco sólido para el análisis de ecuaciones diferenciales abstractas, aportando bases teóricas que fortalecen la comprensión de la estabilidad, regularidad y continuidad de sistemas dinámicos en diferentes ámbitos de la matemática aplicada y las ciencias afines.

The central objective of this research was to determine the conditions that a perturbing operator P must meet so that, when added to a generator A of a strongly continuous semigroup of class 0C in a Banach space, the resulting operator AP+ continues to generate a semigroup of the same class. To achieve this objective, the fundamentals of semigroups of operators and their generators were reviewed, with special emphasis on Hille Yosida's theorem, the resolver, and techniques for interpolation and extrapolation of spaces. Subsequently, perturbation theory was addressed as the main tool for analyzing the stability of semigroups under controlled modifications to their generator. The results obtained show that, under the condition that P is linear and bounded, the perturbed operator AP+ maintains the essential properties of the original generator, thus ensuring the existence of a strongly continuous semigroup. Based on these findings, it is concluded that perturbation theory confirms the proposed hypothesis and fulfills the stated objectives, validating that the 0C class semigroups retain their structure under well-defined perturbations. Overall, this work offers a solid framework for the analysis of abstract differential equations, providing theoretical foundations that strengthen the understanding of the stability, regularity, and continuity of dynamical systems in different areas of applied mathematics and related sciences.