Regularidad métrica con aplicaciones en optimización y control óptimo

Abstract

El trabajo de tesis estudia la regularidad métrica y sus variantes como herramientas para caracterizar propiedades y el análisis de estabilidad en optimización y control óptimo. Se desarrollan caracterizaciones de la regularidad métrica mediante propiedades lipschitzianas, derivadas gráficas y variaciones contingentes en el contexto de multifunciones. Se explora también el concepto de regularidad bi‑métrica, que necesita dos métricas en el espacio imagen, así como las versiones Hölder de las propiedades de regularidad antes mencionadas. En las aplicaciones, se estudia el vínculo de la regularidad métrica con las condiciones de calificación de Mangasarian-Fromovitz en problemas de optimización no lineal, mostrando que estas propiedades son equivalentes. También se aplican los resultados y caracterizaciones de las propiedades del tipo regularidad métrica al estudio de estabilidad de soluciones de inclusiones variacionales que surgen en las condiciones de optimalidad del principio de Pontryagin para problemas de control óptimo afín. Se establecen condiciones suficientes, basadas en propiedades de crecimiento de la función switching, para garantizar regularidad (bi)métrica de orden de una multifunción asociada a dichas inclusiones variacionales.

This thesis focuses on metric regularity and related notions as key instruments for stability analysis in optimization and optimal control. We present characterizations of metric regularity using Lipschitz notions, graphical (contingent) derivatives, and contingent variations in the framework of set-valued maps. The work also explores the concept of bi- metric regularity, which envolves two metrics on the codomain, as well as their Hölder counterparts. Regarding applications, we study the connection between metric regularity and the Mangasarian-Fromovitz constraint qualifications at a feasible point of a nonlinear programming problem, showing that they are equivalent. Moreover, the theoretical tools examined are used to study the stability of solutions to variational inclusions which appear in the first optimality conditions derived from Pontryagin’s principle for affine control problems. We derive sufficient conditions, expressed in terms of growth properties of the switching function, that ensure (bi)metric regularity of order of the set- valued mapping associated with these variational inclusions.