Regularidad y Existencia de Tangentes para s− Conjuntos en el Plano

Abstract

El presente trabajo de investigaci´on desarrolla las caracteristicas sobre regularidad y existencia de tangentes mediante la nociíon de densidad, para s ----- ;conjuntos en el plano. Por ello en el primer capitulo se da la noción de medida y dimensión de Hausdorrf s;dimensional para un conjunto en Rn lo cual es importante por que hay muchos conjuntos que no se pueden medir en el sentido de longitud, ´area o volumen, ya que dichos conjuntos est´an en una dimensi´on no entera, por ejemplo el conjunto ternario de Cantor, el tri´angulo de Sierpinski, la curva de Koch, entre otros. Dicha medida de Hausdorff s;dimensional permite dar una aproximación de su medida de dichos conjuntos. En el segundo capítulo, se desarrolla regularidad e irregularidad de un s ;conjunto basado en la noción de densidad, donde un s ;conjunto F es un conjunto de Borel con medida de Hausdorff s ;dimensional positiva y finita (0 < Hs(F) < 4;). Tambi´en se analiza la estructura de un conjunto, el cual se divide en dos partes: Una llamada curvalike (parte regular) y otra llamada curva-free (parte irregular), estudi´andolos cada uno por separado para luego recombinarlas sin afectar sus propiedades. El tercer y ´ultimo capitulo se presenta la existencia de tangentes para un s ;conjunto. Veremos que un s ;conjunto regular en el plano tiene tangentes en casi todos sus puntos, en particular tienen esta propiedad las curvas rectificables que son los conjuntos regulares. Por otro lado los s ;conjuntos irregulares en el plano, no tienen tangentes en casi todos sus puntos, en particular los s ;conjuntos en el plano para 1 < s < 2. I