Teoría homológica singular y cálculo de algunos grupos de homología

Abstract

El trabajo de investigación abordó aspectos avanzados de la teoría homológica singular y el cálculo de grupos de homología en contextos topológicos específicos. Se inicia definiendo una categoría admisible como una subcategoría de pares topológicos que cumple con ciertas propiedades estructurales. Este enfoque permitió refinar y extender el uso de categorías en topología algebraica. El estudio detalló los axiomas de Eilenberg-Steenrod, fundamentales en la teoría de homología y cohomología. Además se expone cómo estos axiomas establecen un marco para entender las relaciones entre diferentes tipos de homologías y la estructura subyacente de espacios topológicos. Mediante la utilización de funtores entre dos categorías relevantes, la de espacios topológicos y la de grupos abelianos, se ha desarrollado una teoría de homología singular. Se verificó que la homología singular cumple con los axiomas de Eilenberg-Steenrod, reforzando su validez y aplicabilidad en un marco teórico amplio. Finalmente, el estudio logró aplicaciones concretas al calcular los grupos de homología para objetos topológicos fundamentales como el punto, la esfera, el plano proyectivo real y el toro. Estos cálculos no solo ilustran la utilidad de la teoría desarrollada, sino que también proporcionan ejemplos claros de cómo se pueden manejar espacios de diferente complejidad dentro del mismo marco teórico.