Deformaciones de estructuras complejas en variedades complejas compactas.

Abstract

En este trabajo se describe una parte importante de los descubrimientos obtenidos durante el siglo XX, es una introducción a la teoría de variedades complejas y sus deformaciones. Intuitivamente la deformación de una variedad compleja compacta M, compuesta de un número finito de cartas coordenadas, viene dada por el desplazamiento de éstas cartas. Definimos   M M T B y M B ,     de manera que el desplazamiento del cual hablo se llevará a cabo a través de la aplicación KSt que va del espacio tangente de una variedad compleja B, denominado espacio base de una familia diferenciable de variedades complejas compactas   , ,M B , al primer grupo de cohomología de Mt, es decir KSt,     : , 1 T B H M   , donde  es el haz de t t t gérmenes de campos vectoriales holomorfos sobre Mt, a ésta aplicación se le llama La Aplicación Infinitestimal Kodaira-Spencer, que nos permitirá medir las variaciones de primer orden de la estructura compleja. En consecuencia, dada  , ,M B una familia analítica compleja de variedades complejas compactas, se tiene que las deformaciones infinitesimales   /t t dM dt de M 1 t     son ciertos elementos de   1 ,t t H M . Por otro lado, dada una variedad compleja compacta M, si  , ,M B con O B  es una familia analítica compleja tal que   1 0 M    . ¿Podemos decir que     1 / . t dM dt H M   , es una deformación infinitesimal de M? Pues no está claro que cada  deba surgir de ésta manera. Resulta que si  surgiese así, entonces tiene que cumplir con ciertas condiciones adicionales. Si existen clases de cohomología  que no cumplan las condiciones adicionales entonces  no son deformaciones infinitesimales de M, si no, son llamados Obstrucciones a la deformación de M. esta teoría de la obstrucción, garantiza la existencia de una familia analítica compleja paa cualquier   1 ,H M . Finalmente, hablaremos también del Número de Moduli, m(M) que viene a ser el número de parámetros efectivos de la familia analítica compleja  , ,M B con   1 0 M    , que contiene todas las deformaciones suficientemente pequeñas para M.