Existencia y Unicidad de la Solución para el Problema de Cauchy asociado a una Ley de Conservación en el Espacio Unidimensional

Abstract

En esta tesis, se hace una revision bibliograca acerca de la existencia y unicidad de la solucion para el problema de Cauchy asociado a una ley de conservacion en el espacio unidimensional. En el primer capitulo, se estudia la Teoria Clasica para el siguiente Problema de Cauchy en un espacio unidimensional, 8< : x0(t) = f(x; t); (x; t) en R2 x(t0) = x0 9= ; (1.1) y haciendo uso del Teorema de Arzela-Ascoli se demuestra que el Problema de Cauchy tiene solucion unica cuando la funcion f : R2 ! R o funcion del lado derecho, es una funcion continua. En el segundo capitulo, estudiaremos la teoria referente a las Soluciones Generalizadas para el Problema de Cauchy con discontinuidad en el lado derecho en un espacio unidimensional, iniciamos definiendo las funciones de Caratheodory, que juntamente con la definicion de funcion absolutamente continua nos permiten definir las soluciones en el sentido de Caratheodory. Ademas estudiaremos las funciones multivaluadas e inclusiones diferenciales que serviran para definir las soluciones en el sentido de Filippov. En el tercer capitulo, presentaremos condiciones y resultados que garantizan la existencia y unicidad del Problema de Cauchy en un espacio unidimensional en el sentido de Caratheodory. Tambien presentaremos resultados mediante los cuales la existencia de solucion del Problema de Cauchy en un espacio unidimensional en el sentido de Filippov queda garantizada, aqui sin embargo la unicidad solo es posible para un caso particular, en cuya demostracion usaremos leyes de conservacion para el caso escalar.