Existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy-Dirichlet para problemas parabólicos en un dominio con frontera libre y puntos singulares

Abstract

El presente trabajo de investigación intitulado: Existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy-Dirichlet para problemas parabólicos en un dominio con frontera libre y puntos singulares, tiene como propósito responder al problema de investigación: ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes de existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy-Dirichlet para problemas parabólicos en un dominio con frontera libre y puntos singulares?; a través de la hipótesis que los problemas parabólicos definidos en dominios con frontera móvil, bajo condiciones de regularidad, siempre poseen solución, y que, la unicidad de la solución se garantiza, exigiendo cierto grado de aproximación de la tangente horizontal con la curva del contorno del dominio en los puntos singulares de contacto o garantizando la condición de Lipschitz en una vecindad del punto singular. Para este tipo de problemas, son conocidos algunos resultados, que van desde el establecimiento de condiciones que garantizan la existencia y unicidad de la solución, el análisis de dependencia que tiene la solución ante las variaciones del contorno del dominio, etc. hasta la búsqueda de métodos eficientes de solución tanto analíticos como numéricos. Todos estos resultados, son conocidos para espacios funcionales específicos. En el presente trabajo de investigación, se utilizó el tipo de investigación básico descriptivo, con una metodología de trabajo consistente en utilizar el Teorema de Lax Miligram en la demostración de la existencia de la solución débil de problemas parabólicos con condiciones tipo Dirichlet sobre la frontera libre y puntos singulares, en un espacio de Sóbolev previamente definido. Con respecto a la unicidad, ésta fue probada de manera clásica, buscando una solución idénticamente nula de la ecuación homogénea correspondiente de tipo parabólico, con la particularidad de considerar primeramente subdominios que no contienen puntos singulares, y luego utilizando propiedades de continuidad, tomar límites y abarcar subdominios que contienen en su frontera puntos singulares.